BÀI 1 TRANG 92 TOÁN 11

     

Hướng dẫn giải bài §2. Dãy số, Chương III. Dãy số. Cấp số cùng và cấp cho số nhân, sách giáo khoa Đại số với Giải tích 11. Nội dung bài bác giải bài xích 1 2 3 4 5 trang 92 sgk Đại số với Giải tích 11 bao gồm tổng hợp công thức, lý thuyết, cách thức giải bài bác tập đại số và giải tích có trong SGK sẽ giúp các em học sinh học giỏi môn toán lớp 11.

Bạn đang xem: Bài 1 trang 92 toán 11


Lý thuyết

1. Hàng số

Dãy số là tập hợp các giá trị của hàm số (u:mathbbN* o mathbbR, m n o u(n))

Được sắp xếp theo đồ vật tự tăng dần liên tiếp theo đối số tự nhiên và thoải mái (n):

(u(1),u(2),u(3),…,u(n),…)

( ullet m )Ta kí hiệu (u(n)) vì (u_n) và điện thoại tư vấn là số hạng sản phẩm n tuyệt số hạng tổng quát của hàng số, (u_1) được hotline là số hạng đầu của hàng số.

( ullet ) Ta rất có thể viết dãy số dưới dạng khai triển (u_1,u_2,…,u_n,…) hoặc dạng rút gọn ((u_n)).

2. Biện pháp cho dãy số

Người ta thường cho dãy số theo các cách:

( ullet ) cho số hạng tổng quát, tức là: cho hàm số u khẳng định dãy số đó

( ullet ) Cho bởi công thức truy nã hồi, tức là:

Cho một vài ba số hạng đầu của dãy


Cho hệ thức biểu lộ số hạng tổng quát qua số hạng (hoặc một vài số hạng) đứng trước nó.

3. Hàng số tăng, dãy số giảm

( ullet ) dãy số ((u_n)) call là dãy tăng ví như (u_n u_n + 1 m forall n in mathbbN*)

4. Dãy số bị chặn

( ullet ) hàng số ((u_n)) call là dãy bị chặn trên nếu như có một số trong những thực (M) làm thế nào cho (u_n m m forall n in mathbbN*).

( ullet ) dãy số vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới call là dãy bị chặn, tức là tồn trên số thực dương (M) làm thế nào để cho (left| u_n ight| Dưới đấy là phần phía dẫn trả lời các câu hỏi và bài xích tập trong phần hoạt động vui chơi của học sinh sgk Đại số cùng Giải tích 11.

Câu hỏi

1. Trả lời câu hỏi 1 trang 85 sgk Đại số cùng Giải tích 11


Cho hàm số (displaystyle f(n) =1 over 2n – 1), n ∈ N*. Tính f(1), f(2), f(3), f(4), f(5).


Trả lời:

Ta có:

(eqalign& f(1) = 1 over 2.1 – 1 = 1 over 2 – 1 = 1 over 1 = 1 cr& f(2) = 1 over 2.2 – 1 = 1 over 4 – 1 = 1 over 3 cr& f(3) = 1 over 2.3 – 1 = 1 over 6 – 1 = 1 over 5 cr& f(4) = 1 over 4.2 – 1 = 1 over 8 – 1 = 1 over 7 cr& f(5) = 1 over 5.2 – 1 = 1 over 10 – 1 = 1 over 9 cr )

2. Trả lời thắc mắc 2 trang 86 sgk Đại số với Giải tích 11

Hãy nêu các phương pháp cho một hàm số với ví dụ minh họa.

Trả lời:

– Hàm số cho bằng bảng:


Ví dụ:

x01234
y13579

– Hàm số cho bằng công thức:

Ví dụ:

(displaystyle y = 5x + 1 over x)

3. Trả lời thắc mắc 3 trang 86 sgk Đại số với Giải tích 11

Viết năm số hạng đầu với số hạng tổng quát của những dãy số sau:

a) dãy nghịch đảo của những số tự nhiên và thoải mái lẻ;


b) Dãy những số tự nhiên chia cho $3$ dư $1$.

Trả lời:

a) Năm số hạng đầu:

(displaystyle 1 over 1;,1 over 3;,1 over 5;,1 over 7;,1 over 9)

số hạng tổng thể của hàng số: (displaystyle1 over 2n + 1) (n∈N)

b) Năm số hạng đầu: $1; 4; 7; 10; 13$


số hạng tổng thể của hàng số: $3n + 1(n ∈ N)$

4. Trả lời thắc mắc 4 trang 87 sgk Đại số với Giải tích 11

Viết mười số hạng đầu của dãy Phi-bô-na-xi.

Trả lời:

Mười số hạng đầu của hàng Phi-bô-na-xi:

$1; 1; 2; 3; 5; 8; 13; 21; 34; 55.$

5. Trả lời câu hỏi 5 trang 89 sgk Đại số cùng Giải tích 11

Cho các dãy số (un) với (vn) cùng với un = 1 + (1 over n); vn = 5n – 1.

a) Tính un+1, vn+1.

b) chứng tỏ un+1 n cùng vn+1 > vn, với tất cả n ∈ N*.

Trả lời:

a) un = 1 + (1 over n+1); vn+1= 5(n + 1) – 1 = 5n + 4

b) Ta có:

(u_n + 1 – u_n = (1 + 1 over n + 1) – (1 + 1 over n) = 1 over n + 1 – 1 over n = – 1 over n(n + 1))

⇒ un+1 n , ∀n ∈ N*

(v_n + 1 – v_n = (5n + 4) – (5n – 1) = 5 > 0)

⇒ vn+1 > vn ,∀n ∈ N*

6. Trả lời câu hỏi 6 trang 90 sgk Đại số với Giải tích 11

Chứng minh các bất đẳng thức (displaystylen over n^2 + 1 le 1 over 2;,,,n^2 + 1 over 2n ge 1) với mọi n∈N*

Trả lời:

Ta có:

(eqalign& n^2 over n^2 + 1 – 1 over 2 = 2n – (n^2 + 1) over 2(n^2 + 1) = – (n – 1)^2 over 2(n^2 + 1) le 0;,,forall n in N^* cr& Rightarrow n over n^2 + 1 & n^2 + 1 over 2n – 1 = n^2 + 1 – 2n over 2n = (n – 1)^2 over 2n ge 0;,,forall n in N* cr& Rightarrow n^2 + 1 over 2n ge 1;,,forall n in N^* cr )

Dưới đấy là phần khuyên bảo giải bài bác 1 2 3 4 5 trang 92 sgk Đại số và Giải tích 11. Chúng ta hãy đọc kỹ đầu bài trước lúc giải nhé!

Bài tập

thehetrethanhhoa.com.vn ra mắt với các bạn đầy đủ phương pháp giải bài xích tập đại số với giải tích 11 kèm bài xích giải chi tiết bài 1 2 3 4 5 trang 92 sgk Đại số và Giải tích 11 của bài §2. Dãy số trong Chương III. Dãy số. Cung cấp số cùng và cấp số nhân cho chúng ta tham khảo. Nội dung cụ thể bài giải từng bài tập các bạn xem dưới đây:

*
Giải bài bác 1 2 3 4 5 trang 92 sgk Đại số và Giải tích 11

1. Giải bài 1 trang 92 sgk Đại số cùng Giải tích 11

Viết năm số hạng đầu của những dãy số bao gồm số hạng bao quát un cho bởi vì công thức:

a) un = ( fracn2^n-1);

b) un = ( frac2^n-12^n+1) ;

c) un = ( (1+frac1n)^n);

d) un = ( fracnsqrtn^2+1).

Bài giải:

Với $n = 1, n = 2, n = 3, n = 4, n = 5$ ta tìm được $5$ số hạng đầu của những dãy số

a) un = ( fracn2^n-1);

u1 = 1; u2 = ( frac23), ( u_3=frac37; u_4=frac415;u_5=frac531)

b) un = ( frac2^n-12^n+1)

( u_1=frac13,u_2=frac35;u_3=frac79;u_4=frac1517;u_5=frac3133)

c) un = ( (1+frac1n)^n);

u1 = 2; ( u_2=frac94;u_3=frac6427;u_4=frac625256;u_5=frac77763125)

d) un = ( fracnsqrtn^2+1)

( u_1=frac1sqrt2;u_2=frac2sqrt5;u_3=frac3sqrt10;u_4=frac4sqrt17;u_5=frac5sqrt26)

2. Giải bài 2 trang 92 sgk Đại số và Giải tích 11

Cho hàng số Un , biết: u1 = -1; un+1 = un +3 với $n ≥ 1$.

a) Viết năm số hạng đầu của hàng số;

b) minh chứng bằng cách thức quy nạp: un = 3n -4.

Bài giải:

a) từ bỏ u1 = -1 ta kiếm được u2 = 2, lần lượt như vậy ta tìm kiếm được u3, u4, u5 có giá trị là $5, 8, 11$.

Xem thêm: Bài Tập Tìm Tập Xác Định Của Hàm Số Lũy Thừa Logarit, Tập Xác Định Của Hàm Số Mũ Lũy Thừa Lôgarit

b) Ta thấy, cùng với n =1 thì u1 =$ 3.1 – 4 = -1.$

Giả sử hệ thức đúng với n = k ≥ 1 ⇒ uk $= 3k -4.$

Xét với $n = k +1$ ta có:

uk+1 = uk + 3 = $3k – 4 + 3$ = $3(k + 1) – 4 = 3n – 4$ (đpcm)

Vậy hệ thức đúng với đa số n ε N*

3. Giải bài xích 3 trang 92 sgk Đại số cùng Giải tích 11

Dãy số un mang lại bởi: u1 = 3; un+1 = ( sqrt1+u^2_n), $n ≥ 1.$

a) Viết năm số hạng đầu của hàng số;

b) dự đoán công thức số hạng bao quát và chứng tỏ côngt hức đó bằng phương pháp quy nạp.

Bài giải:

a) từ u1 = 3 ta tìm kiếm được u2 = $sqrt10$, lần lượt do đó ta kiếm được u3, u4, u5 có mức giá trị là $sqrt11$ , $sqrt12$ , $sqrt13$.

b) từ bỏ các tác dụng của câu a ta dự đoạn cách làm của hàng số như sau:

$u_n = sqrtn + 8$ (*)

Chứng minh:

Ta thấy, cùng với $n = 1$ thì phương pháp (*) đúng.

Giả sử đúng cùng với $n = k ≥ 1$, thì $u_k = sqrtk + 8$

Xét với $n = k + 1$, ta có:

uk+1 = ( sqrt1+u^2_k=sqrt1+(sqrtk+8)^2=sqrt(k+1)+8) $= sqrtn + 8$ (đpcm)

Như vậy công thức (1) đúng cùng với $n = k + 1$.

4. Giải bài bác 4 trang 92 sgk Đại số cùng Giải tích 11

Xét tính tăng, giảm của các dãy số un biết:

a) $u_n = frac1n – 2;$

b) $u_n = fracn-1n+1;$

c) $u_n=(-1)^n(2^n + 1);$

d) $u_n = frac2n+15n+2.$

Bài giải:

a) Ta gồm un+1 = ( frac1n+1 – 2)

Xét hiệu:

un+1 – un = ( frac1n+1 – 2 – ( frac1n) – 2))

(= frac1n+1) – ( frac1n).

Ta thấy ( frac1n+1) n+1 – un = ( frac1n+1) – ( frac1n) * .

⇒ hàng số đã cho là dãy số giảm.

b) Ta gồm un+1 = $fracn+1-1n+1+1$

⇒ un+1 – un = ( fracn+1-1n+1+1-fracn-1n+1=fracnn+2-fracn-1n+1)

= ( fracn^2+n- n^2-n+2(n+1)(n+2)=frac2(n+1)(n+2)>0)

⇒ dãy số đã cho là dãy số tăng.

c) các số hạng ban đầu vì có thừa số (-1)n, đề xuất dãy số hàng số ko tăng và cũng ko giảm.

d) Ta có $u_n+1 = frac2n+35n+7$

Ta tất cả ( fracu_n+1u_n) ( =frac2n+35n+7.frac5+22n+1=frac10n^2+19n+610n^2+19n+7*

⇒ dãy số đã chỉ ra rằng dãy số bớt dần.

5. Giải bài xích 5 trang 92 sgk Đại số với Giải tích 11

Trong các dãy số sau, dãy số như thế nào bị ngăn dưới, dãy số như thế nào bị ngăn trên, hàng số làm sao bị chặn?

a) un = 2n2 -1;

b) un = ( frac1n(n+2))

c) un = ( frac12n^2-1);

d) un = sinn + cosn

Bài giải:

a) un = 2n2 -1;

Ta có un = 2n2 -1 ≥ 1 với đa số n ε N*

⇒ dãy số bị chặn dưới với không tồn tại một số M để un = 2n2 -1 ≤ M, bắt buộc dãy số không bị chặn trên.

b) un = ( frac1n(n+2))

Ta thấy: un > 0 với đa số n ε N*

Ta có: n(n + 2) = n2 + 2n ≥ 3 ⇒ ( frac1n(n+2)) ( leq frac13).

⇒ 0 n ( leq frac13) với tất cả n ε N* ⇒ hàng số bị chặn.

c) un = ( frac12n^2-1);

Ta có: 2n2 – 1 > 0 ⇒ ( frac12n^2-1) > 0

mà 2n2 – 1≥ 1 ⇒ ( u_n=frac12n^2-1) ≤ 1.

⇒ 0 n ≤ 1, với đa số n ε N*  ⇒ hàng số bị chặn.

Xem thêm: Cho Ví Dụ Về Nguồn Sáng Và Vật Sáng Và Vật Sáng, Lấy Ví Dụ Về Nguồn Sáng Và Vật Sáng

d) un = sinn + cosn

Ta có: $u_n = sqrt2(fracsqrt22sinn + fracsqrt22cosn) = sqrt2sin(n + fracpi 4)$, với đa số n.

⇒ $-sqrt2 ≤ sinn + cosn ≤ sqrt2$ với tất cả n ε N*

Vậy $-sqrt2 *

Bài trước:

Bài tiếp theo:

Chúc các bạn làm bài tốt cùng giải bài tập sgk toán lớp 11 với giải bài 1 2 3 4 5 trang 92 sgk Đại số với Giải tích 11!