Bài 4 Toán 11 Trang 41

     

Hướng dẫn giải bài Ôn tập Chương I. Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác, sách giáo khoa Đại số cùng Giải tích 11. Nội dung bài bác giải bài xích 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 trang 40 41 sgk Đại số với Giải tích 11 bao gồm tổng vừa lòng công thức, lý thuyết, phương pháp giải bài bác tập đại số cùng giải tích gồm trong SGK sẽ giúp các em học viên học xuất sắc môn toán lớp 11.

Bạn đang xem: Bài 4 toán 11 trang 41

Lý thuyết

1. §1. Hàm con số giác

2. §2. Phương trình lượng giác cơ bản

3. §3. Một số phương trình lượng giác hay gặp

4. Khối hệ thống hóa kỹ năng và kiến thức chương Hàm con số giác cùng Phương trình lượng giác

*

5. Một vài dạng phương trình lượng giác đặc trưng và cách thức giải

a) Phương trình đẳng cấp và sang trọng bậc hai đối với sinx cùng cosx

Dạng phương trình:

(asin ^2x + bsin xcos x + ccos ^2x = d m (1) )

(a, b, c, d: có tối thiểu 2 thông số khác không)

Phương pháp giải:

♦ phương pháp 1:

Xét (cos x = 0 Leftrightarrow x = fracpi 2 + kpi ,k in mathbbZ) có là nghiệm của (1) hay không

Xét (cos x e 0), phân tách hai vế của (1) đến (cos ^2x) ta được:

(a an ^2x + b an x + c = d(1 + an ^2x))

( Leftrightarrow left( a – d ight) an ^2x + b an x + c – d = 0) (left( 1′ ight))

Đặt (t = an x)

Phương trình (left( 1′ ight)) trở thành: ((a – d)t^2 + bt + c – d = 0 m (2))

Giải phương trình (2) theo t từ đó suy ra x theo (t = an x)

♦ giải pháp 2: Sử dụng những công thức

(sin ^2x = frac1 – cos 2x2); (cos ^2x = frac1 + cos 2x2); (sin xcos x = fracsin 2x2)

Phương trình (1) trở thành:

(aleft( frac1 – cos 2x2 ight) + bfracsin 2x2 + cleft( frac1 + cos 2x2 ight) = d)

( Leftrightarrow bsin 2x + (c – a)cos 2x = 2 chiều – a – c)

Đây là phương trình bậc nhất đối với sin2x và cos2x.

b) Phương trình quý phái bậc ba đối với sinx cùng cosx

Dạng phương trình:

(asin ^3x + bsin ^2xcos x + csin xcos ^2x + dsin x + ecos x + fc mo ms^3x = 0 m (1) )

(a, b, c, d, e, f: có tối thiểu 2 thông số khác không).

Phương pháp giải:

Xét (cos x = 0 Leftrightarrow x = fracpi 2 + kpi ,k in mathbbZ)có là nghiệm của (1) giỏi không

Xét(cos x e 0), phân chia hai vế của (1) cho (cos ^3x) ta được:

(a an ^3x + b an ^2x + c an x + d an x(1 + an ^2x) + e(1 + an ^2x) + f = 0)

( Leftrightarrow (a + d) an ^3x + (b + e) an ^2x + (c + d) an x + e + f = 0) (left( m1′ ight))

Đặt (t = an x)

Phương trình (left( m1′ ight)) trở thành:

((a + d)mathop m t olimits ^3 + (b + e)mathop m t olimits ^2 + (c + d)mathop m t olimits + e + f = 0) (2)

Giải phương trình (2) theo t từ kia suy ra x theo (t = an x)

c) Phương trình đối xứng đối với sinx với cosx

♦ Dạng 1: (aleft( sin x + cos x ight) + bsin xcos x + c = 0)

Phương pháp giải:

Đặt (t = sin x + cos x = sqrt 2 sin left( x + fracpi 4 ight))

Điều kiện: (left| t ight| le sqrt 2 ) (*)

Suy ra (sin xcos x = fract^2 – 12)

Khi kia phương trình trở thành: (bt^2 + 2at + 2c – b = 0)

Giải phương trình theo t kết phù hợp với điều kiên (*) suy ra t

Giải phương trình lượng giác cơ bản (sqrt 2 sin left( x + fracpi 4 ight) = t), suy ra x

Chú ý: Ta cũng rất có thể đặt (t = sin x + cos x = sqrt 2 c mosleft( x – fracpi 4 ight)) và làm giống như như trên.

♦ Dạng 2: (aleft( sin x – cos x ight) + bsin xcos x + c = 0)

Phương pháp giải:

Đặt (t = sin x – cos x = sqrt 2 sin left( x – fracpi 4 ight))

Điều kiện: (left| t ight| le sqrt 2 ) (*)

Suy ra (sin xcos x = frac1 – t^22)

Khi kia phương trình trở thành: (bt^2 – 2at – 2c – b = 0)

Giải phương trình theo t kết hợp với điều khiếu nại (*) suy ra t

Giải phương trình lượng giác cơ phiên bản (sqrt 2 sin left( x – fracpi 4 ight) = t), suy ra x

d) Phương trình đối xứng đối với tanx với cotx

♦ Dạng 1: (a( an ^2x + cot ^2x) + b( an x + cot x) + c = 0)

Phương pháp giải:

Điều khiếu nại (left{ eginarray*20csin x e 0\cos x e 0endarray ight. Leftrightarrow sin 2x e 0 Leftrightarrow x e frackpi 2,k in mathbbZ)

Đặt (t = an x + cot x), đk (left| t ight| ge 2)

Suy ra ( an ^2x + cot ^2x = t^2 – 2)

Phương trình trở thành:

(a(t^2 – 2) + bt + c = 0 Leftrightarrow at^2 + bt + c – 2a = 0)

Giải phương trình theo t cùng kết phù hợp với điều khiếu nại (*), suy ra t

Giải phương trình ( an x + cot x = t)

• bí quyết 1:

Ta tất cả ( an x + frac1 an x = t Leftrightarrow an ^2x – t. an x + 1 = 0)

Đây là phương trình bậc hai theo tanx

• biện pháp 2:

Ta có: (fracsin xcos x + fraccos xsin x = t Leftrightarrow fracsin ^2x + cos ^2xsin xcos x = t Leftrightarrow sin 2x = frac2t)

Đây là phương trình cơ phiên bản của sin2x

♦ Dạng 2: (a( an ^2x + cot ^2x) + b( an x – cot x) + c = 0)

Điều kiện (left{ eginarray*20csin x e 0\cos x e 0endarray ight. Leftrightarrow sin 2x e 0 Leftrightarrow x e frackpi 2 m, k in mathbbZ)

Đặt (t = an x – cot x). Lúc ấy ( an ^2x + cot ^2x = t^2 + 2)

Phương trình trở thành:

(a(t^2 + 2) + bt + c = 0 Leftrightarrow at^2 + bt + c + 2a = 0)

Giải phương trình theo t cùng kết hợp với điều khiếu nại (nếu có), suy ra t

Giải phương trình ( an x – cot x = t)

• cách 1:

Ta bao gồm ( an x – frac1 an x = t Leftrightarrow an ^2x – t an x – 1 = 0)

Đây là phương trình bậc hai theo tanx

• giải pháp 2:

Ta có: (fracsin xcos x – fraccos xsin x = t Leftrightarrow fracsin ^2x – cos ^2xsin xcos x = t)

( Leftrightarrow frac – 2cos 2xsin 2x = t Leftrightarrow cot 2x = – fract2)

Đây là phương trình cơ phiên bản của cot2x.

Dưới đấy là phần gợi ý giải bài xích 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 trang 40 41 sgk Đại số cùng Giải tích 11. Các bạn hãy gọi kỹ đầu bài trước khi giải nhé!

Bài tập Ôn tập chương I

thehetrethanhhoa.com.vn giới thiệu với chúng ta đầy đủ phương thức giải bài bác tập đại số và giải tích 11 kèm bài bác giải đưa ra tiết bài 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 trang 40 41 sgk Đại số cùng Giải tích 11 của bài bác Ôn tập Chương I. Hàm số lượng giác với phương trình lượng giác cho các bạn tham khảo. Nội dung chi tiết bài giải từng bài bác tập các bạn xem bên dưới đây:

*
Giải bài xích 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 trang 40 41 sgk Đại số cùng Giải tích 11

1. Giải bài 1 trang 40 sgk Đại số và Giải tích 11

a) Hàm số $y = cos3x$ liệu có phải là hàm số chẵn không? trên sao?

b) Hàm số (y=tanleft ( x+fracpi 5 ight )) liệu có phải là hàm số lẻ không? tại sao?

Bài giải:

Phương pháp giải:

Hàm số (y = f(x)) là hàm số chẵn nếu vừa lòng cả 2 đk sau:

Gọi D là tập xác định thì: (forall x in D) thì ( – x in D.)

(forall x in D) thì (f( – x) = f(x).)

Hàm số (y = f(x)) là hàm số lẻ nếu vừa lòng cả 2 đk sau:

Gọi D là tập xác minh thì: (forall x in D) thì ( – x in D.)

(forall x in D) thì (f( – x) = – f(x).)

Áp dụng:

a) Hàm số y = cos3x là hàm số chẵn. Thiệt vậy:

Tập khẳng định của hàm số: D = R.

(forall xin mathbbRRightarrow -xin mathbbR)

(forall xin mathbbRRightarrow y(-x) =cos(-3x)=cos3x=y(x))

⇒ hàm số y = cos3x là hàm số chẵn.

b) Hàm số (y=tanleft ( x+fracpi 5 ight )) không phải là hàm số lẻ. Thật vậy:

Với (x=fracpi 5Rightarrow f(-x)=tan left ( -fracpi 5+fracpi 5 ight ))

(= chảy 0=0 eq -f(x)=-tanfrac2pi 5)

⇒ Hàm số (y=tanleft ( x+fracpi 5 ight )) chưa hẳn là hàm số lẻ.

2. Giải bài 2 trang 40 sgk Đại số cùng Giải tích 11

Căn cứ vào đồ gia dụng thị hàm số $y = sin x$, tìm các giá trị của $x$ bên trên đoạn (left < -frac3pi 2;2pi ight >) nhằm hàm số đó:

a) nhấn giá trị bởi $-1$;

b) Nhận quý hiếm âm.

Bài giải:

Căn cứ vào đồ dùng thị hàm số $y = sin x$, bên trên đoạn (left < -frac3pi 2;2pi ight >), ta có:

*

a) $sinx = -1$ lúc (x=-fracpi 2;x=frac3pi 2.)

b) sin $x

3. Giải bài bác 3 trang 41 sgk Đại số cùng Giải tích 11

Tìm giá bán trị bự nhất của các hàm số:

a) (y=sqrt2(1+cosx)+1);

b) (y=3sin(x-fracpi 6)-2).

Bài giải:

a) Ta có: (-1leq cosxleq 1 forall xin mathbbR)

(Rightarrow 2(1+cosx)leq 2(1+1)=4Rightarrow sqrt2(1+cosx)+1leq 3)

Dấu “=” xẩy ra (Leftrightarrow cosx=1Leftrightarrow x=k2 pi.)

Vậy $Max x = 3$ lúc (x=k2 pi)

b) Ta tất cả (sinleft ( x-fracpi 6 ight )leq 1Rightarrow 3sin left ( x- fracpi 6 ight )-2leq 3.1-2=1)

Dấu “=” xảy ra (Leftrightarrow sin left ( x-fracpi 6 ight )=1Leftrightarrow x=frac2 pi 3+k2 pi.)

Vậy $Max y = 1$ lúc (x=frac2 pi3+k2 pi.)

4. Giải bài xích 4 trang 41 sgk Đại số với Giải tích 11

Giải những phương trình sau:

a) (sin(x+1)=frac23);

b) (sin^22x=frac12);

c) (cot^2 fracx2=frac13);

d) (tan left ( fracx12 +12x ight )=-sqrt3)​.

Xem thêm: Khối Nào Nhận Tín Hiệu Từ Anten, Giải Bài Tập Công Nghệ 12

Bài giải:

a) (sin(x+1)=frac23)

(Leftrightarrow Bigg lbrack eginmatrix x+1 = arcsin frac23+k2 pi \ \ x+1= pi -arcsin frac23+k2 pi endmatrixLeftrightarrow Bigg lbrack eginmatrix x =-1+ arcsin frac23+k2 pi \ \ x= -1+pi -arcsin frac23+k2 pi endmatrix)

b) (sin^22x=frac12Leftrightarrow sin2x=pm frac1sqrt2)

(sin2x= frac1sqrt2 Leftrightarrow sin2x=sinfracpi 4Leftrightarrow Bigg lbrack eginmatrix 2x=fracpi 4+k2pi \ \ 2x=frac3pi 4+k2pi endmatrixLeftrightarrow Bigg lbrack eginmatrix x=fracpi 8+kpi \ \ x=frac3pi 8+kpi endmatrix)

(sin2x=- frac1sqrt2 Leftrightarrow sin2x=sin left ( -fracpi 4 ight )Leftrightarrow Bigg lbrack eginmatrix 2x=-fracpi 4+k2pi \ \ 2x=frac5pi 4+k2pi endmatrixLeftrightarrow Bigg lbrack eginmatrix x=-fracpi 8+kpi \ \ x=frac5pi 8+kpi endmatrix)

c) Ta có:

(eqalign& cot ^2x over 2 = 1 over 3 Leftrightarrow left< matrixcot x over 2 = sqrt 3 over 3 ,,,,,,,,,(1) hfill crcot x over 2 = – sqrt 3 over 3,,,,(2) hfill cr ight. cr& (1) Leftrightarrow cot x over 2 = cot pi over 3 Leftrightarrow x over 2 = pi over 3 + kpi cr& Leftrightarrow x = 2pi over 3 + k2pi ,k in mathbbZ cr& (2) Leftrightarrow cot x over 2 = cot ( – pi over 3) Leftrightarrow x over 2 = – pi over 3 + kpi cr& Leftrightarrow x = – 2pi over 3 + k2pi ;k in mathbbZ cr )

Vậy nghiệm của phương trình là (x = pm frac2pi 3 + k2pi ,,left( k in Z ight))

d) (tan left ( fracpi 12 +12x ight )=-sqrt3)

(tan left (12x +fracpi 12 ight )=tanfrac2 pi3Leftrightarrow 12x +fracpi 12= frac2 pi3+k pi)

(Leftrightarrow x=frac7 pi144+frack pi12.)

5. Giải bài 5 trang 41 sgk Đại số cùng Giải tích 11

Giải những phương trình sau:

a) 2cos2x $– 3cosx + 1 = 0$;

b) 25sin2x + 15sin2x + 9 cos2x = 25;

c) $2 sin x + cosx = 1;$

d) $sinx + 1,5 cotx = 0$.

Bài giải:

a) (2cos^2x -3cosx + 1 = 0)

Đặt (t=cosx,- 1 le t le 1 Rightarrow 2t^2-3t+1=0Leftrightarrow igg lbrack eginmatrix t=1\ t=frac12 endmatrix) (Thỏa điều kiện)

Với (t=1 Rightarrow cosx=1Leftrightarrow x=k 2pi)

Với (t=frac12 Rightarrow cosx=frac12Leftrightarrow x= pm fracpi 3+k 2pi)

b) (25sin^2x + 15sin2x + 9 cos^2x = 25) (2)

Nhận thấy (cosx =0Leftrightarrow x=fracpi 2+ k pi) là nghiệm của phương trình vị (25sin^2x=25Leftrightarrow sin^2x =1) luôn luôn đúng.

Với (cosx eq 0). Lúc đó:

((2)Leftrightarrow 25tan^2x + 30 rã x + 9 =25(1+tan^2 x))

(Leftrightarrow 30tanx=16)

(Leftrightarrow tanx=frac815Leftrightarrow x=arctan frac815 +k pi)

Vậy phương trình gồm nghiệm (x=fracpi 2+ k pi; x=arctan frac815 +k pi)

c) (2sinx+cosx=1Leftrightarrow frac2sqrt5sinx+frac1sqrt5cosx=frac1sqrt5)

Đặt (cosalpha = frac2sqrt5; sinx =frac1sqrt5.)

Suy ra (sin(x+alpha )=frac1sqrt5Leftrightarrow sin(x+alpha )= sinalpha Leftrightarrow igg lbrack eginmatrix x=k 2pi \ x= pi-2alpha +k2pi endmatrix)

d) (sinx+1,5cotx =0)

(Leftrightarrow sin^2x +frac32cosx=0Leftrightarrow 1-cos^2x+ frac32cosx =0)

(Leftrightarrow 2cos^2x-3cosx-2=0)

Đặt (t=cosx,- 1 le t le 1 Rightarrow 2t^2-3t-2=0Leftrightarrow igg lbrack eginmatrix t=2 (loai) \ t=-frac12 endmatrix)

Với (t=-frac12 Rightarrow cosx=-frac12Leftrightarrow cosx=cosfrac2pi 3Leftrightarrow x=pm frac3pi 3+ k2pi)

Bài tập trắc nghiệm

Chọn cách thực hiện đúng:

6. Giải bài bác 6 trang 41 sgk Đại số và Giải tích 11

Phương trình $cosx = sin x$ tất cả số nghiệm thuộc đoạn <(-pi;pi)> là:

$(A) 2 ; (B) 4 ; (C) 5 ; (D) 6.$

Trả lời:

Ta bao gồm (cosx=sinxLeftrightarrow sin left ( x-fracpi 4 ight )=0 Leftrightarrow x-fracpi 4=k piLeftrightarrow x=fracpi 4+kpi.) mà lại (xin <-pi;pi>Rightarrow -pi leq fracpi 4+kpileq piLeftrightarrow -frac54leq kleq frac34) nhưng mà (kin mathbbZ)

(Rightarrow k=0;k=-1)

⇒ bên trên <(-pi;pi)> phương trình gồm hai nghiệm.

⇒ chọn đáp án: (A).

7. Giải bài xích 7 trang 41 sgk Đại số cùng Giải tích 11

Phương trình (fraccos4xcos2x=tan2x) bao gồm số nghiệm thuộc khoảng (left ( 0;fracpi2 ight )) là:

$(A) 2 ; (B) 3 ; (C) 4 ; (D) 5.$

Trả lời:

Ta có:

(fraccos4xcos2x=tan2xLeftrightarrow cos4x=sin2xLeftrightarrow cos4x=cosleft ( fracpi 2 -2x ight ))

(Leftrightarrow Bigg lbrack eginmatrix 4x=fracpi 2 – 2x +k2pi\ \ 4x=2x-fracpi 2 + l2pi endmatrixLeftrightarrow Bigg lbrack eginmatrix x=fracpi 12+frackpi3\ \ x=-fracpi 4 + lpi endmatrix)

mà (xin left ( 0;fracpi 2 ight)Rightarrow Bigg lbrack eginmatrix 0

8. Giải bài bác 8 trang 41 sgk Đại số với Giải tích 11

Nghiệm dương nhỏ tuổi nhất của phương trình sin x + sin2x = cosx + 2 cos2 x là:

(A) (fracpi 6) ; (B) (frac2pi 3) ;

C) (fracpi 4) ; (D) (fracpi 3).

Trả lời:

Ta có:

(sinx+sin2x=cosx+2cos^2x)

(Leftrightarrow (1+2cosx).sinx=cosx(1+2cosx))

(Leftrightarrow (2cosx+1).(sinx-cosx)=0)

(Leftrightarrow igg lbrack eginmatrix 2cosx +1=0\ sinx-cosx=0 endmatrixLeftrightarrow Bigg lbrack eginmatrix cosx=-frac12\ \ sinleft ( x-fracpi 4 ight )=0 endmatrixLeftrightarrow Bigg lbrack eginmatrix x=pm frac2pi 3 +k2 pi\ \ x=fracpi 4+k pi endmatrix)

mà $x$ dương nhỏ tuổi nhất suy ra: (x=fracpi 4.)

⇒ chọn đáp án: (C).

9. Giải bài bác 9 trang 41 sgk Đại số cùng Giải tích 11

Nghiệm âm lớn số 1 của phương trình $2tan^2 x + 5tanx + 3 = 0$ là:

(A) (-fracpi 3) ; (B) (-fracpi 4) ;

(C) (-fracpi 6) ; (D) (-frac5pi 6).

Trả lời:

Ta có: (2tan^2x+5tanx+3=0Leftrightarrow igg lbrack eginmatrix tanx=-1\ tanx=-frac34 endmatrixLeftrightarrow igg lbrack eginmatrix x=-fracpi 4 + k pi\ \ x=arctan left ( -frac32 ight )+k pi endmatrix)

Mà $x$ là âm lớn số 1 (Rightarrow x=-fracpi 4)

((arctan left( – frac32 ight) approx – 56^019’))

⇒ lựa chọn đáp án: (B).

10. Giải bài xích 10 trang 41 sgk Đại số và Giải tích 11

Phương trình $2tanx – 2 cotx – 3 = 0$ bao gồm số nghiệm thuộc khoảng tầm (left ( -fracpi 2; pi ight )) là:

$(A) 1 ; (B) 2 ; (C) 3 ; (D) 4.$

Trả lời:

Xét phương trình: (2tan x-2cotx-3=0)

Điều kiện: ( an x.cot x e 0)

Khi kia nhân 2 vế mang đến ( an x) ta có:

(2tan x-2cotx-3=0) (Leftrightarrow 2tan^2x-3tanx-2=0)

(Leftrightarrow igg lbrack eginmatrix tanx=2\ tanx=-frac12 endmatrixLeftrightarrow Bigg lbrack eginmatrix x=arctan 2 + k pi\ x = arctan left ( -frac12 ight )+kpi endmatrix)

mà (xin left ( -fracpi 2; pi ight )Rightarrow) bên trên (left ( -fracpi 2; pi ight )) phương trình tất cả 3 nghiệm.

Xem thêm: Tổng Hợp Bài Tập Thực Hành Word Tổng Hợp Bài Tập Word, Bài Tập Thực Hành Word

⇒ chọn đáp án: (C).

Bài trước:

Bài tiếp theo:

Chúc chúng ta làm bài xuất sắc cùng giải bài tập sgk toán lớp 11 cùng với giải bài bác 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 trang 40 41 sgk Đại số cùng Giải tích 11!