Cách Giải Phương Trình Vi Phân Cấp 2

     
Bài giảngGiải tích 1Giải tích 2Đại số tuyến đường tính (LinearAlgebra)Xác suất thốngkêPhương pháp Toán Lý (PT Đạo hàm riêng cùng PBĐLaplace)Thảo luậnThảo luận về giảitíchThảo luận ĐSTTThảo luận XSTKEbooksMaths Ebooks

4. Phương trình vi phân tuyến đường tính cấp 2, không thuần nhất hệ số hàm số:

Phương trình vi phân con đường tính cấp 2 ko thần nhất, hệ số hàm là phương trình gồm dạng:

*
(4.1),

trong đó

*
là đầy đủ hàm số thường xuyên trên .

Để giải phương trình này, theo mục 3.5 làm việc trên ta nên 2 bước:

– cách 1: kiếm tìm nghiệm tổng quát của phương trình thuần độc nhất

– cách 2: Tììm 1 nghiệm riêng rẽ của phương trình không thuần nhất.

Bạn đang xem: Cách giải phương trình vi phân cấp 2

4.1: Giải phương trình thuần nhất:

*
(4.1.1)

Dạng phương trình này cho tới lúc này vẫn chưa tồn tại cách giải tổng thể mà chỉ hoàn toàn có thể giải được trường hợp như ta biết trước 1 nghiệm riêng biệt

*
lúc đó, ta sẽ tìm nghiệm riêng biệt
*
độc lập tuyến tính với
*
bằng công thức Liouville (công thức 3.5.4) sống trên.

Ta có:

*

Chia hai vế cho

*
(4.1.2) ta có:
*
(4.1.3)

Quan ngay cạnh vế trái ta thấy vế trái đó là đạo hàm của

*
. Vậy:

*
(4.1.4)

Do đó, mang tích phân nhị vế ta có:

*
(4.1.5)

Vậy:

*
(4.1.6)

Từ (4.1.6) ta thuận lợi nhận thấy

*
độc lập tuyến tính.

Vậy nghiệm tổng thể của phương trình (4.1.1) là

*

4.2 một số ví dụ:

Ví dụ 1. mang đến phương trình:

*
(4.2.1)

Biết phương trình có 1 nghiệm riêng biệt dạng nhiều thức bậc 2. Các bạn hãy tìm nghiệm tổng thể của pt (4.2.1).

Do pt (4.2.1) có 1 nghiệm riêng dạng đa thức bậc hai đề xuất nghiệm riêng

*
bao gồm dạng:
*
chũm vào phương trình ta có:

*

Suy ra: b = 0 , a, c tùy ý . Vậy nghiệm riêng

*

Bây giờ, ta search nghiệm riêng rẽ

*
độc lập tuyến tính với
*
dụa vào công thức (4.1.5)

Ta có:

*

Hay:

*

Vậy nghiệm bao quát của pt (4.2.1) là:

*

Ví dụ 2. mang đến phương trình

*
(4.2.2)

Biết

*
là một trong những nghiệm riêng rẽ của phương trình (4.2.2). Search nghiệm tổng thể của phương trình (4.2.2)

Trường phù hợp

*
thì từ pt ta có:
*

Giả sử

*
:
*

Do

*
là một trong những nghiệm riêng biệt của (4.2.2) bắt buộc nghiệm riêng
*
chủ quyền tuyến tính cùng với
*
được khẳng định bởi:

*

Hay:

*

trong đó

*

nên

*

Vậy:

*

Vậy nghiệm tổng quát của phương trình (4.2.2) là:

*

4.3 tra cứu nghiệm riêng biệt của pt ko thuần nhất (4.1): phương thức biến thiên hằng số (method of variation of parameters):

Cho phương trình

*

và phương trình thuần tốt nhất

*
tất cả nghiệm tổng quát:
*

Khi đó ta kiếm tìm 1 nghiệm riêng

*
tất cả dạng:
*

Nói phương pháp khác, ta buộc phải tìm u(x), v(x) nhằm y* là một trong nghiệm riêng rẽ của (4.1)

Ta có:

*
(4.3.1)

Nhận xét: nếu liên tục lấy đạo hàm rồi cầm cố vào pt thì ta sẽ có một biểu thức trong đó có 6 đại lượng chưa biết là

*
nên không thể giải được.

Do vậy, ta phải tìm u(x), v(x) làm thế nào cho biểu thức (4.3.1) rất có thể triệt tiêu bớt những thành phần không biết.

Xem thêm: Cách Ghost Win 10 Không Cần Usb, Hướng Dẫn Norton Ghost Không

Vì vậy, ta sẽ chọn u(x), v(x) sao cho:

*
(4.3.2)

Khi đó, từ bỏ biểu thức (4.3.1) ta có:

*
(4.3.3)

Lấy đạo hàm biểu thức (4.3.3) ta có:

*
(4.3.4)

Thế (4.3.4) với (4.3.3) vào pt(4.1) và chú ý

*
là 2 nghiệm của phương trình thuần nhất, ta có:

*
(4.3.5)

Từ (4.3.2) với (4.3.5) ta có u(x), v(x) là nghiệm của hpt:

*
(I)

Do

*
là 2 nghiệm độc lập tuyến tính cần theo (3.5) và định hướng hệ phương trình ta sẽ có hệ pt (I) gồm duy độc nhất nghiệm u"(x) , v"(x).

Vậy ta tìm kiếm được u(x), v(x). Bởi vì đó tìm kiếm được nghiệm riêng rẽ y*.

Vậy câu hỏi đã được giải quyết.

4.4 một vài ví dụ:

Ví dụ 1: Biết rằng các hàm

*
tạo thành thành hệ nghiệm cơ bản của phương trình
*
. Hãy tra cứu nghiệm tổng quát của phương trình:
*
(4.4.1)

Giải

Ta có nghiệm bao quát của phương trình thuần nhất khớp ứng là:

*

Ta kiếm tìm nghiệm riêng y* của phương trình ko thuần tuyệt nhất (4.4.1) bằng phương thức biến thiên hằng số.

Muốn vậy, trước tiên ta yêu cầu chuyển phương trình về dạng

*
, nghĩa là buộc phải chia 2 vế mang đến x.

Xem thêm: Ảnh Của Một Vật Tạo Bởi Gương Phẳng Sbt, Giải Vở Bài Tập Vật Lí 7

Mẹo: từ phương trình bên trên ta tiện lợi nhận thấy y = 1 thỏa mãn nhu cầu phương trình (4.4.1). Vậy ta có thể tìm nghiệm riêng biệt y* bằng cách kiểm tra y = một là nghiệm. Biện pháp này để giúp ta đo lường và tính toán nhanh rộng so cùng với cách chủ yếu quy.