Cách tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng

     

Bài viết hướng dẫn cách thức giải bài toán tìm giao điểm của con đường thẳng và mặt phẳng và một số ví dụ minh họa có lời giải chi tiết.

2. Một số trong những ví dụ minh họaVí dụ 1: cho tứ giác $ABCD$ bao gồm $AB$ không tuy nhiên song với $CD$. Hotline $S$ là vấn đề nằm bản thiết kế phẳng $(ABCD)$, $M$ là trung điểm của $SC$. Tìm kiếm giao điểm $N$ của đường thẳng $SD$ và mặt phẳng $(MAB).$

*

Trên mặt phẳng $(SAC)$, điện thoại tư vấn $I = AM ∩ SO.$Xét khía cạnh phẳng $(SBD)$ chứa $SD.$Ta có $(SBD) ∩ (MAB) = BI.$Trên phương diện phẳng $(SBD)$, hotline $N = BI ∩ SD$ thì $N = SD ∩ (MAB).$

Ví dụ 2: Cho tứ diện $ABCD.$ đem hai điểm $M$, $N$ theo thứ tự trên $AC$ với $AD$ sao cho $MN$ không song song $CD.$ mang điểm $O$ bên trong $ΔBCD.$a) tìm giao tuyến của hai mặt phẳng $(OMN)$ cùng $(BCD).$b) tìm kiếm giao điểm của những đường trực tiếp $BC$, $BD$ với khía cạnh phẳng $(OMN)$.

*

a) Trong phương diện phẳng $(ACD)$ hotline $I$ là giao điểm của hai đường thẳng $NM$ với $CD.$Hiển nhiên $OI = (OMN) ∩ (BCD).$b) Trong khía cạnh phẳng $(BCD)$ điện thoại tư vấn $H$, $K$ là giao điểm của $OI$ cùng với $BC$, $BD.$$K,H in OI Rightarrow K,H in (OMN).$Vậy $H = BC ∩ (OMN)$, $K = BD ∩ (OMN).$

Ví dụ 3: Cho hình chóp $S.ABCD$. đem điểm $M$ trên cạnh $SC.$a) kiếm tìm giao điểm của mặt đường thẳng $AM$ cùng mặt phẳng $(SBD).$b) đem điểm $N$ bên trên cạnh $BC.$ kiếm tìm giao điểm của mặt đường thẳng $SD$ với mặt phẳng $(AMN).$

*

a) Xét phương diện phẳng phụ $(SAC)$ cất $AM.$Trong khía cạnh phẳng $(ABCD)$ điện thoại tư vấn $O$ là giao điểm của hai tuyến đường thẳng $BD$ với $AC$ thì $SO = (SAC) ∩ (SBD).$Trong khía cạnh phẳng $(SAC)$ call $I$ là giao điểm của hai đường thẳng $SO$ cùng $AM$ thì $I = AM ∩ (SBD).$b) Xét phương diện phẳng phụ $(SBD)$ cất $SD.$Trong khía cạnh phẳng $(ABCD)$ gọi $Y$ là giao điểm của hai tuyến phố thẳng $BD$ cùng $AN$ thì $IY = (SBD) ∩ (AMN).$Trong mặt phẳng $(SBD)$ hotline $K$ là giao điểm của hai tuyến đường thẳng $IY$ và $SD$ thì $K = SD ∩ (AMN).$

Ví dụ 4: Cho tứ diện $ABCD.$ call $I$ cùng $K$ lần lượt là nhị điểm trong của những tam giác $ABC$ cùng $BCD.$ đưa sử $IK$ giảm mặt phẳng $(ACD)$ trên $H.$ tìm $H.$

*

Xét phương diện phẳng $(BIK)$ chứa $IK.$Trong phương diện phẳng $(ABC)$: $BI$ cắt $AC$ tại $M.$Trong khía cạnh phẳng $(BCD)$: $BK$ cắt $CD$ trên $N$ thì $MN = (BIK) ∩ (ACD).$Trong mặt phẳng $(BIK)$, trả sử $IK$ giảm $MN$ trên $H$ thì $H$ đó là giao điểm của $IK$ với mặt phẳng $(ACD).$Ví dụ 5: đến hình chóp $S.ABCD$ tất cả đáy $ABCD$ là hình bình hành. Gọi $M$ là trung điểm $SC.$a) search giao điểm $I$ của đường thẳng $AM$ cùng mặt phẳng $(SBD).$ Chứng minh $IA = 2IM.$b) tra cứu giao điểm $F$ của mặt đường thẳng $SD$ cùng mặt phẳng $(ABM).$ chứng tỏ $F$ là trung điểm của $SD.$c) đem điểm $N$ tùy ý trên cạnh $AB.$ tìm giao điểm của mặt đường thẳng $MN$ cùng mặt phẳng $(SBD).$

*

a) gọi $O$ là trọng điểm hình bình hành $ABCD.$Trong mặt phẳng $(SAC)$, $AM$ cắt $SO$ trên $I$ thì $I$ là giao điểm của $AM$ với mặt phẳng $(SBD).$Do $I$ là trọng tâm tam giác $ΔSAC$ đề xuất $IA = 2IM.$b) Xét mặt phẳng $(SBD)$ chứa $SD$ thì $BI$ là giao con đường của mặt phẳng $(SBD)$ và mặt phẳng $(ABM).$Trong mặt phẳng $(SBD)$, $BI$ cắt $SD$ tại $F$ thì $F = SD ∩ (ABM).$Do $I$ cũng là trọng tâm $ΔSBD$ buộc phải $F$ là trung điểm $SD.$c) Xét khía cạnh phẳng $(MAB)$ đựng $MN$ thì $BI$ là giao tuyến của khía cạnh phẳng $(MAB)$ và mặt phẳng $(SBD).$Trong mặt phẳng $(MAB)$, $MN$ giảm $BI$ tại $J$ thì $J$ là giao điểm của $MN$ với mặt phẳng $(SBD).$

Ví dụ 6: Cho tứ diện $ABCD.$ call $M$, $N$ thứu tự là trung điểm của $AC$ với $BC.$ trên đoạn $BD$ đem điểm $K$ làm thế nào để cho $BK = 2KD.$a) tìm kiếm giao điểm của đường thẳng $CD$ với mặt phẳng $(MNK).$b) kiếm tìm giao con đường của nhì mặt phẳng $(MNK)$ cùng $(ABD).$

*

a) Xét khía cạnh phẳng $(BCD)$ cất $CD.$Do $NK$ không tuy nhiên song với $CD$ yêu cầu $NK$ cắt $CD$ trên $I.$$I ∈ NK ⇒ I ∈ (MNK).$Vậy $CD$ cắt $(MNK)$ trên $I.$b) Trong phương diện phẳng $(ACD)$, $MI$ cắt $AD$ tại $E.$Ta gồm $K ∈ BD ⇒ K ∈ (ABD)$ và $K ∈ (MNK).$Mặt khác: $E ∈ AD ⇒ E ∈ (ABD)$, $E ∈ ngươi ⇒ E ∈ (MNK).$Vậy $EK = (MNK) ∩ (ABD).$Lưu ý: $I ∈ NK$ bắt buộc $I ∈ (MNK).$ vì vậy $MI ∈ (MNK).$

Ví dụ 7: Cho tứ diện $ABCD.$ call $I$, $J$ là trung điểm của $AC$ và $BC.$ trên $BD$ đem điểm $K$ làm sao cho $BK = 2KD.$a) kiếm tìm giao điểm $E$ của con đường thẳng $CD$ và mặt phẳng $(IJK).$b) search giao điểm $F$ của đường thẳng $AD$ với mặt phẳng $(IJK).$c) đem $M$, $N$ bên trên $AB$, $CD$. Search giao điểm của con đường thẳng $MN$ với mặt phẳng $(IJK).$

*

a) Trong khía cạnh phẳng $(BCD)$ điện thoại tư vấn $E$ là giao điểm của $CD$ với $KJ$ thì $E = CD ∩ (IJK).$b) Trong mặt phẳng $(ACD)$ call $F$ là giao điểm của $EI$ và $AD.$$F ∈ EI ⇒ F ∈ (IJK).$Vậy $F = AD ∩ (IJK).$c) Trong phương diện phẳng $(DAC)$ hotline $A’$ là giao điểm của $AN$ cùng $IF.$Trong mặt phẳng $(DBC)$ điện thoại tư vấn $B’$ là giao điểm của $BN$ và $KJ.$Trong khía cạnh phẳng $(NAB)$ gọi $P$ là giao điểm của $A’B’$ và $MN.$Do $P ∈ A’B’$ buộc phải $P ∈ (IJK).$Vậy $MN ∩ (IJK) = P.$

Ví dụ 8: Cho hình chóp $S.ABCD$ tất cả đáy hình thang đáy béo $AB.$ đem $I$, $Y$, $K$ thứu tự trên $SA$, $AB$, $BC.$ search giao điểm của:a) $IK$ cùng $(SBD).$b) $SD$ cùng $(IYK).$c) $SC$ với $(IYK).$

*

a) Xét khía cạnh phẳng $(SKA)$ đựng $KI.$Trong $(ABDC)$ call $H$ là giao điểm của $AK$ cùng $BD$ thì $SH = (SKA) ∩ (SBD).$Trong mặt phẳng $(SAK)$ gọi $P$ là giao điểm của $SH$ với $IK$ thì $P = IK ∩ (SBD).$b) Xét khía cạnh phẳng $(SAD)$ cất $SD.$Trong phương diện phẳng $(ABCD)$ hotline $Q$ là giao điểm của $YK$ với $AD$ thì $IQ = (SAD) ∩ (IYK).$Trong khía cạnh phẳng $(SAD)$ hotline $M$ là giao điểm của $QI$ với $SD$ thì $M = SD ∩ (IYK).$c) Xét khía cạnh phẳng $(SBC)$ cất $SC.$Trong phương diện phẳng $(SAB)$ gọi $N$ là giao điểm của $IY$ cùng $SB$ thì $KN = (SBC) ∩ (IYK).$Trong khía cạnh phẳng $(SBC)$ điện thoại tư vấn $R$ là giao điểm của $NK$ và $SC$ thì $N = SC ∩ (IYK).$

Ví dụ 9: Cho hình chóp $S.ABCD$ bao gồm đáy $ABCD$ là hình bình hành trọng điểm $O$. điện thoại tư vấn $M$ là trung điểm $SB$, $G$ là giữa trung tâm tam giác $ΔSAD.$a) search giao điểm $I$ của đường thẳng $MG$ với mặt phẳng $(ABCD).$ minh chứng $IC = 2ID.$b) tìm giao điểm $J$ của đường thẳng $AD$ cùng mặt phẳng $(OMG).$ Tính tỉ số $fracJAJD.$c) search giao điểm $K$ của con đường thẳng $SA$ và mặt phẳng $(OMG).$

*

a) điện thoại tư vấn $H$ cùng $N$ thứu tự là trung điểm của $AD$ với $SA.$Trên mặt phẳng $(ABCD)$, $BH$ giảm $CD$ tại $I.$Trên phương diện phẳng $(SBH)$, $MG$ cắt $BH$ tại $I$ thì $I$ là giao điểm của $MG$ với mặt phẳng $(ABCD).$Ta có:$I ∈ GM$ bắt buộc $I ∈ (MN, CD).$$I ∈ BH$ phải $I ∈ (ABCD).$Mà giao tuyến đường của khía cạnh phẳng $(MN, CD)$ và mặt phẳng $(ABCD)$ là $CD$ phải $I ∈ CD.$Do $HD$ là con đường trung bình của tam giác $ΔIBC$ bắt buộc $IC = 2ID.$b) Xét khía cạnh phẳng $(ABCD)$ cất $AD.$Ta gồm $OI$ là giao đường của khía cạnh phẳng $(OMG)$ cùng mặt phẳng $(ABCD).$Trên mặt phẳng $(ABCD)$, $OI$ cắt $AD$ tại $J$ thì $J$ là giao điểm của $AD$ với mặt phẳng $(OMG).$Tam giác $ΔAIC$ tất cả $IO$ cùng $AD$ là hai tuyến đường trung tuyến phải $J$ là trọng tâm $ΔAIC.$Vậy $fracJAJD = 2.$c) Xét mặt phẳng $(SDA)$ cất $SA$ thì $GJ$ là giao tuyến của khía cạnh phẳng $(SAD)$ cùng mặt phẳng $(OMG).$Trong phương diện phẳng $(SAD)$, $GJ$ giảm $SA$ trên $K$ thì $K = SA ∩ (OMG).$

*

3. Bài xích tập rèn luyện1. Mang lại tứ diện $ABCD.$ trên $AC$ cùng $AD$ đem hai điểm $M$, $N$ sao cho $MN$ không song song với $CD.$ call $I$ là điểm phía bên trong tam giác $ΔBCD.$a) tìm giao đường của $(IMN)$ và $(BCD).$b) search giao điểm của $BC$ cùng $BD$ cùng với $(CMN).$

2.


Bạn đang xem: Cách tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng


Xem thêm: Sách Giải Bài Tập Toán 11 Bài 2 Chương 2, Giải Bài Tập Toán 11 Đại Số


Xem thêm: Giải Sách Bài 9 Sbt Toán 8 Tập 1 Trang 26 Sbt Toán 8 Tập 1, Bài 9 Trang 26 Sbt Toán 8 Tập 1


đến hình chóp $S.ABCD.$ đem điểm $M$ trên $SC$, $N$ trên $BC$. Tìm giao điểm của:a) $AM$ và $(SBD).$b) $SD$ với $(AMN).$

3. đến tứ diện $ABCD.$ đem điểm $M$, $N$ trên $AC$, $AD$. Rước $O$ là điểm bên trong tam giác $ΔBCD.$ tìm giao điểm của:a) $MN$ với $(ABD).$b) $OA$ và $(BMN).$

4. đến tứ diện $ABCD.$ đem $I$, $J$ là hai điểm bên phía trong $ΔABC$ với $ΔABD$, $M$ là điểm trên $CD.$ kiếm tìm giao điểm của $IJ$ và $(ABM).$

5. Cho hình chóp $S.ABCD$ tất cả $AD$ không song song với $BC$. Lấy $K$ bên trên đoạn $SB.$ search giao điểm của:a) $BC$ cùng $(SAD).$b) $SC$ và $(AKD).$

6. Mang lại tứ diện $S.ABC$. Gọi $I$, $H$ là trung điểm của $SA$, $AB$. Bên trên $SC$ rước điểm $K$ làm thế nào cho $CK = 3KS.$a) kiếm tìm giao điểm của $BC$ và $(IHK).$b) gọi $M$ là trung điểm của $IH.$ kiếm tìm giao điểm của $KM$ với $(ABC).$