Phân tích đa thức thành nhân

     

Phân tích nhiều thức thành nhân tử là kiến thức và kỹ năng cơ sở cho các bài học tập về nhân chia 1-1 thức, đa thức đặc biệt quan trọng trong những biểu thức phân số tất cả chứa đổi thay trong lịch trình toán 8 và cả những lớp sau này.

Bạn đang xem: Phân tích đa thức thành nhân


Chính vì chưng vậy, mà việc nắm vững những cách phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung, đội hạng tử, hay phương thức dùng hằng đẳng thức là điều rất đề nghị thiết. Bài viết dưới đây vẫn tổng vừa lòng các phương thức phân tích đa thức thành nhân tử và áp dụng giải các dạng bài tập này.

I. Các phương pháp phân tích nhiều thức thành nhân tử

1. Phân tích nhiều thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung

* Phương pháp:

Tìm nhân tử tầm thường là những đối chọi thức, nhiều thức có mặt trong toàn bộ các hạng tử.

- phân tích mỗi hạng tử thành tích của nhân tử thông thường và một nhân tử khác.

- Viết nhân tử chung ra phía bên ngoài dấu ngoặc, viết những nhân tử còn lại của từng hạng tử vào trong vết ngoặc (và cả vệt của chúng).

 * Ví dụ. phân tích các nhiều thức sau thành nhân tử.

 a) 15x3 - 5x2 + 10x = 5x.(3x2) + 5x.(-x) + 5x.(2) = 5x(3x2 - x + 2)

 b) 28x2y2 - 21xy2 + 14x2y = 7xy.(4xy) + 7xy.(-3y) + 7xy.(2x) = 7xy(4xy - 3y + 2x)

2. Phân tích nhiều thức thành nhân tử với phương pháp dùng hằng đẳng thức

* Phương pháp:

- biến hóa đa thức các bạn đầu về dạng rất gần gũi của hằng đẳng thức, kế tiếp sử dụng hằng đẳng thức để làm xuất hiên nhân tử chung.

Cần chú ý đến việc vận dụng linh hoạt các hằng đẳng thức xứng đáng nhớ:

 ♦ (A+B)2= A2+2AB+B2

 ♦ (A–B)2= A2– 2AB+ B2

 ♦ A2–B2= (A-B)(A+B)

 ♦ (A+B)3= A3+3A2B +3AB2+B3

 ♦ (A – B)3= A3- 3A2B+ 3AB2- B3

 ♦ A3+ B3= (A+B)(A2- AB +B2)

 ♦ A3- B3= (A- B)(A2+ AB+ B2)

 ♦ (A+B+C)2= A2+ B2+C2+2 AB+ 2AC+ 2BC

* Chú ý: a+b= -(-a-b) ; (a+b)2= (-a-b)2 ; (a-b)2= (b-a)2 ; (a+b)3= -(-a-b)3 ; (a-b)3=-(-a+b)3

* Ví dụ: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử.

 a) 9x2 – 4 = (3x)2 – 22 = ( 3x– 2)(3x + 2)

 b) 8 – 27x3y6 = 23 – (3xy2)3 = (2 – 3xy2)(4 + 6xy2  + 9x2y4)

 c) 25x4 – 10x2y + y2 = (5x2 – y)2

3. Cách phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp nhóm các hạng tử

* Phương pháp:

- phối kết hợp các hạng tử thích hợp thành từng nhóm.

- Áp dụng liên tiếp các cách thức đặt nhân tử bình thường hoặc sử dụng hằng đẳng thức.

* Ví dụ: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử

 a) 2x3 – 3x2 + 2x – 3 = ( 2x3 + 2x) – (3x2 + 3)

= 2x(x2 + 1) – 3( x2 + 1) = ( x2 + 1)( 2x – 3)

 b) x2 – 2xy + y2 – 16 = (x – y)2 - 42 = ( x – y – 4)( x –y + 4)

4. Cách thêm giảm 1 hạng tử hoặc tách hạng tử nhằm phân tích đa thức thành nhân tử

* Phương pháp:

- áp dụng thêm sút hạng tử linh hoạt để đưa về nhóm hạng tử tầm thường hoặc dùng hằng đẳng thức

 * Ví dụ: Phân tích các nhiều thức sau thành nhân tử

 a) x4 + 4 = x4 + (4x2 - 4x2) + 4 = x4 + 4x2 + 4 - 4x2 = (x2+2)2 - 4x2

= (x2+2-2x)(x2+2+2x)

 b) x4 + 1 = x4 + 2x2 - 2x2 + 1 = x4 + 2x2 + 1 - 2x2 = (x2+1)2 - 2x2 = (x2+1)2 - (x√2)2

= (x2+1-x√2)(x2+1+x√2)

 c) 3x2 + 8x + 4 = 3x2 + 8x + 16 - 12 = (3x2 – 12) + (8x + 16) = 3(x2 - 4) + 8(x+2)

 =3(x-2)(x+2) + 8(x+2) =(x + 2)<3(x-2)+8> =(x + 2)(3x + 2)

 hoặc: 3x2 + 8x + 4 = 4x2 - x2 + 8x + 4 = (4x2 + 8x + 4) – x2 = (2x + 2)2 – x2

 = (2x + 2 – x)(2x + 2 + x) = (x + 2)(3x + 2)

5. Phối đúng theo nhiều phương thức để phân tích đa thức thành nhân tử

* Phương pháp: Sử dụng các cách thức trên theo thiết bị tự ưu tiên.

- phương thức đặt nhân tử chung.

- phương thức dùng hằng đẳng thức.

- cách thức nhóm những hạng tử.

 * Ví dụ: Phân tích nhiều thức sau thành nhân tử

 a) 3xy2 - 6xy + 3x

= 3x(y2 – 2y + 1) (đặt nhân tử chung)

= 3x(y – 1)2 (dùng hằng đẳng thức (A–B)2= A2– 2AB+ B2 trong công đoạn này A là y B là 1)

 b) 2x2 + 4x + 2 - 2y2

= 2((x2 + 2x +1) - y2) (đặt nhân tử chung)

= 2((x+1)2 - y2) (dùng hằng đẳng thức: (A+B)2= A2+2AB+B2) trong đoạn này A là x; B là 1)

= 2(x+1-y)(x+1+y) (dùng hằng đẳng thức: A2–B2= (A-B)(A+B) trong công đoạn này A là x+ 1 còn B là y)

*

II. Vận dụng giải một vài dạng bài tập phân tích nhiều thức thành nhân tử

Bài 39 trang 19 skg toán 8 tập 1: Phân tích đa thức thành nhân tử

 a) 3x - 6y;

 b)

*
;

 c) 14x2y – 21xy2 + 28x2y2;

 d)

*
;

 e) 10x(x - y) - 8y(y - x).

* lời giải bài 39 trang 19 skg toán 8 tập 1:

 a) 3x - 6y = 3(x-2y)

 b)

*
*

 c) 14x2y – 21xy2 + 28x2y2 = 7xy.2x - 7xy.3y +7xy.4xy = 7xy(2x-3y+4xy)

 d) 

*
*

 e) 10x(x - y) - 8y(y - x)

- Ta thấy: y - x = –(x – y) bắt buộc ta có:

 10x(x - y) - 8y(y - x) =10x(x - y) - 8y<-(x - y)> =10x(x - y) + 8y(x - y) =2(x-y)(5x+4y)

Bài 40 trang 19 skg toán 8 tập 1: Tính giá trị của biểu thức

a) 15.91,5 + 150.0,85;

b) x(x - 1) - y(1 - x) trên x = 2001 cùng y = 1999.

Xem thêm: Tiếng Anh Lớp 7 Unit 2 A Closer Look To, Tiếng Anh 7

* giải mã bài 40 trang 19 skg toán 8 tập 1:

- lưu ý: với dạng bài xích tập này chúng ta cần so với hạng tử để xuất hiện nhân tử chung rồi phân tích thành nhân tử trước lúc tính giá chỉ trị.

a) 15.91,5 + 150.0,85 =15.91,5 + 15.10.0,85 =15(91,5 + 10.0,85) =15(91,5 + 8,5) =15.100 =1500.

b) x(x - 1) - y(1 - x)

- Ta thấy: 1 - x = -(x - 1) bắt buộc ta có:

 x(x - 1) - y(1 - x) =x(x-1)-y<-(x-1)> =x(x-1)+y(x-1) =(x-1)(x+y)

- Thay x = 2001 cùng y = 1999 ta được: (2001-1)(2001+1999) =2000.4000 =8000000

Bài 41 trang 19 skg toán 8 tập 1: Tìm x, biết:

a) 5x(x -2000) - x + 2000 = 0;

b) x3 – 13x = 0

* giải mã bài 41 trang 19 skg toán 8 tập 1:

a) 5x(x -2000) - x + 2000 = 0

⇔ 5x(x – 2000) – (x – 2000) = 0

⇔ (x – 2000).(5x – 1) = 0

*
*

- kết luận có 2 giá trị x hài lòng là x = 2000 và x = 1/5.

b) x3 = 13x ⇔ x3 – 13x = 0 ⇔ x(x2 – 13) = 0

*
 ⇔
*

- Kết luận: Có ba giá trị của x vừa lòng là x = 0, x = √13 và x = –√13.

Bài 42 trang 19 skg toán 8 tập 1:  minh chứng rằng 55n + 1 – 55n chia hết mang lại 54 (với n là số trường đoản cú nhiên)

* Lời giải Bài 42 trang 19 skg toán 8 tập 1: 

- Ta có: 55n + 1 – 55n = 55n.55 - 55n = 55n (55 - 1) = 55n.54

- vày 54 phân chia hết đến 54 bắt buộc 55n.54 luôn chia hết cho 54 với n là số từ nhiên.

⇒ Vậy 55n + 1 – 55n chia hết mang lại 54.

Bài 43 trang 20 skg toán 8 tập 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) x2 + 6x + 9; b) 10x – 25 – x2

c) ; d)

* lời giải bài 43 trang trăng tròn skg toán 8 tập 1:

a) x2 + 6x + 9 = (x)2 + 2.(x).(3) + (3)2 = (x+3)2

b) 10x – 25 – x2 = –(–10x + 25 + x2) = –(x2 - 10x + 25)

= –<(x)2 – 2.(5).(x) + (5)2> = –(x–5)2

c)

*
*
*

d) 

*
*

Bài 44 trang đôi mươi skg toán 8 tập 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a)  ; b) (a + b)3 – (a – b)3 

c) (a + b)3 + (a – b)3 ;

d) 8x3 + 12x2y + 6xy2 + y3

e) - x3 + 9x2 – 27x + 27.

* giải thuật bài 44 trang 20 skg toán 8 tập 1: 

a)

*
*
*

b) (a + b)3 – (a – b)3

= <(a + b) – (a – b)> . <(a + b)2 + (a + b).(a – b) + (a – b)2>

= (a + b – a + b) . (a2 + 2ab + b2 + a2 – b2+ a2 – 2ab + b2)

= 2b.(3a2+ b2)

c) (a + b)3 + (a – b)3

= <(a + b) + (a – b)> . <(a + b)2 – (a + b)(a –b) + (a – b)2>

= <(a + b) + (a – b)> . <(a2 + 2ab + b2) – (a2 – b2) + (a2 – 2ab + b2)>

= (a + b + a – b) . (a2 + 2ab + b2 – a2 + b2 + a2 – 2ab + b2)

= 2a.(a2 + 3b2)

d) 8x3 + 12x2y + 6xy2 + y3 = (2x)3 + 3.(2x)2.y + 3.2x.y2 + y3 = (2x + y)3

e) –x3 + 9x2 – 27x + 27= (–x)3 + 3.(–x)2.3 + 3.(–x).32 + 33 = (–x + 3)3 = (3 – x)3

Bài 45 trang trăng tròn skg toán 8 tập 1: Tìm x, biết:

a) 2 - 25x2 = 0

b) 

* giải thuật bài 45 trang trăng tròn skg toán 8 tập 1:

a) 2 - 25x2 = 0 

*
*
*

- Kết luận: vậy tất cả 2 nghiệm thoả là x = -√2/5 với x= √2/5.

b) 

*
*
*

- Kết luận: vậy có một nghiệm thoả là x=1/2.

Bài 46 trang 21 skg toán 8 tập 1: Tính nhanh

a) 732 - 272 ; b) 372 - 132 ; c) 20022 - 22

* lời giải bài 46 trang 21 skg toán 8 tập 1:

a) 732 – 272 = (73 + 27)(73 – 27) = 100.46 = 4600

b) 372 – 132 = (37 + 13)(37 – 13) = 50.24 = 100.12 = 1200

c) 20022 – 22 = (2002 + 2)(2002 – 2) = 2004 .2000 = 4008000

Bài 47 trang 22 skg toán 8 tập 1: Phân tích những đa thức sau thành nhân tử

a) x2 –xy + x – y

b) xz + yz – 5(x + y)

c) 3x2 – 3xy – 5x + 5y

* giải thuật bài 47 trang 22 skg toán 8 tập 1:

a) x2 – xy + x – y

+) Cách 1: Nhóm nhị hạng tử máy 1 cùng thứ 2, hạng tử sản phẩm công nghệ 3 và thứ 4

 x2 – xy + x – y = (x2 – xy) + (x – y) = x(x – y) + (x – y)= (x – y)(x + 1)

+) giải pháp 2: Nhóm hạng tử đồ vật 1 và thứ 3 ; hạng tử thứ 2 và thứ 4

 x2 – xy + x – y = (x2 + x) – (xy + y)= x.(x + 1) – y.(x + 1) = (x + 1)(x – y)

b) xz + yz – 5(x + y) = (xz + yz) – 5(x + y) = z(x + y) – 5(x + y) = (x + y)(z – 5)

c) 3x2 – 3xy – 5x + 5y

+) Cách 1: Nhóm nhị hạng tử đầu tiên với nhau với hai hạng tử cuối với nhau:

 3x2 – 3xy – 5x + 5y = (3x2 – 3xy) – (5x – 5y) = 3x(x – y) – 5(x – y) = (x – y)(3x – 5)

+) bí quyết 2: Nhóm hạng tử đầu tiên với hạng tử sản phẩm công nghệ 3; hạng tử thứ hai với hạng tử thứ 4:

 3x2 – 3xy – 5x + 5y = (3x2 – 5x) – (3xy – 5y) = x(3x – 5) – y(3x – 5)= (3x – 5)(x – y).

Bài 48 trang 22 skg toán 8 tập 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử

a) x2 + 4x –y2 + 4

b) 3x2 + 6xy + 3y2 – 3z2

c) x2 – 2xy + y2 – z2 + 2zt – t2

* giải thuật Bài 48 trang 22 skg toán 8 tập 1:

a) x2 + 4x – y2 + 4

= (x2 + 4x + 4) – y2

= (x + 2)2 – y2 

= (x + 2 – y)(x + 2 + y)

b) 3x2 + 6xy + 3y2 – 3z2 

= 3.(x2 + 2xy + y2 – z2)

= 3<(x2 + 2xy + y2) – z2>

= 3<(x + y)2 – z2>

= 3(x + y – z)(x + y + z)

c) x2 – 2xy + y2 – z2 + 2zt – t2 

= (x2 – 2xy + y2) – (z2 – 2zt + t2) 

= (x – y)2 – (z – t)2

= <(x – y) – (z – t)><(x – y) + (z – t)>

= (x – y – z + t)(x – y + z –t)

Bài 50 trang 23 sgk toán 8 tập 1: Tìm x, biết:

a) x(x – 2) + x – 2 = 0

b) 5x(x – 3) – x + 3 = 0

* lời giải bài 50 trang 23 sgk toán 8 tập 1:

a) x(x – 2) + x – 2 = 0

⇔ (x – 2)(x + 1) = 0

*
 
*

- Kết luận: vậy x = – 1 hoặc x = 2.

b) 5x(x – 3) – x + 3 = 0

⇔ 5x(x – 3) – (x – 3) = 0

⇔ (x – 3)(5x – 1) = 0

*
*
*

- Kết luận: vậy x = 3 hoặc x = 1/5.

Bài 51 trang 24 sgk toán 8 tập 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) x3 – 2x2 + x.

b) 2x2 + 4x + 2 – 2y2

c) 2xy – x2 – y2 + 16

* giải mã bài 51 trang 24 sgk toán 8 tập 1:

a) x3 – 2x2 + x

= x.x2 – x.2x + x.1

= x(x2 – 2x + 1)

= x(x – 1)2

b) 2x2 + 4x + 2 – 2y2 

= 2.(x2 + 2x + 1 – y2)

= 2<(x2 + 2x + 1) – y2>

= 2<(x + 1)2 – y2>

= 2(x + 1 – y)(x + 1 + y)

c) 2xy – x2 – y2 + 16

= 16 – (x2 – 2xy + y2) 

= 42 – (x – y)2

= <4 – (x – y)><4 + (x + y)>

= (4 – x + y)(4 + x – y).

Bài 52 trang 24 sgk toán 8 tập 1: Chứng minh rằng (5n + 2)2 – 4 chia hết mang lại 5 với đa số số nguyên n.

* giải mã bài 52 trang 24 sgk toán 8 tập 1:

- Ta có: (5n + 2)2 – 4 = (5n + 2)2 – 22 = (5n + 2 – 2)(5n + 2 + 2)= 5n(5n + 4)

- bởi vì 5 ⋮ 5 bắt buộc 5n(5n + 4) ⋮ 5 ∀n ∈ Ζ.

Xem thêm: Bluestone Là Thương Hiệu Của Nước Nào, Máy Xay Sinh Tố Bluestone Của Nước Nào

⇒ Vậy (5n + 2)2 – 4 luôn luôn chia hết mang đến 5 cùng với n ∈ Ζ

Bài 53 trang 24 sgk toán 8 tập 1: Phân tích những đa thức sau thành nhân tử:

a) x2 – 3x + 2

b) x2 + x – 6

c) x2 + 5x + 6

(Gợi ý : Ta ko thể vận dụng ngay các phương pháp đã học nhằm phân tích tuy thế nếu tách bóc hạng tử - 3x = - x – 2x thì ta gồm x2 – 3x + 2 = x2 – x – 2x + 2 cùng từ đó thuận tiện phân tích tiếp.

Cũng gồm thể tách bóc 2 = - 4 + 6, khi ấy ta bao gồm x2 – 3x + 2 = x2 – 4 – 3x + 6, trường đoản cú đó tiện lợi phân tích tiếp)