Toán 12 Bài 2 Tích Phân
Bài 2. Tích phân thuộc: Chương 3: Nguyên hàm – Tích phân cùng ứng dụng
I. Tóm tắt định hướng tích phân
1. Định nghĩa tích phân
Cho f là hàm số thường xuyên trên đoạn
Ta sử dụng kí hiệu
Bạn đang xem: Toán 12 bài 2 tích phân
Nhận xét: Tích phân của hàm số f trường đoản cú a cho b hoàn toàn có thể kí hiệu bởi
Ý nghĩa hình học của tích phân: Nếu hàm số f tiếp tục và không âm trên đoạn
2. đặc thù của tích phân
II. Kĩ năng giải bài bác tập về tích phân
1. Một số phương thức tính tích phân
Dạng 1: Tính tích phân theo công thức
Ví dụ 1: Tính những tính phân sau:
Hướng dẫn:
Dạng 2: Dùng đặc điểm cận trung gian nhằm tính tích phân
Sử dụng tính chất
Ví dụ 2: Tính tích phân
Hướng dẫn:
Nhận xét:
Dạng 3: phương thức đổi biến đổi số
1) Đổi biến số dạng 1
Cho hàm số f liên tiếp trên đoạn
Ví dụ 3: Tính tích phân
Hướng dẫn:
Đặt u = sinx. Ta tất cả du = cosxdx. Đổi cận: x = 0 ⇒ u(0) = 0; x = π/2 ⇒ u(π/2) = 1
Khi đó
Dấu hiệu nhận thấy và phương pháp tính tính phân
2) Đổi biến số dạng 2
Cho hàm số f thường xuyên và gồm đạo hàm bên trên đoạn
Một số phương thức đổi biến: Nếu biểu thức dưới vết tích phân tất cả dạng
Lưu ý: Chỉ nên sử dụng phép để này khi các dấu hiệu 1, 2, 3 đi cùng với x mũ chẵn. Ví dụ, để tính tích phân
Ví dụ 4: Tính các tích phân sau:
a) Đặt x = sint ta bao gồm dx = costdt. Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 0; x = 1 ⇒ t = π/2.
Vậy
b) Đặt x = tant, ta bao gồm dx = (1 + tan2t)dt. Đổi cận:
Vậy
Dạng 4: phương thức tính tích phân từng phần.
Định lí : nếu u = u(x) cùng v = v(x) là nhì hàm số tất cả đạo hàm và liên tiếp trên đoạn
hay viết gọn là
| Dạng hàm | P(x): Đa thức Q(x): sin(kx) xuất xắc cos(kx) | P(x): Đa thức Q(x): ekx | P(x): Đa thức Q(x): ln(ax + b) | P(x): Đa thức Q(x): 1/sin2x hay 1/cos2x |
| Cách đặt | * u = P(x) * dv là Phần còn sót lại của biểu thức dưới vết tích phân | * u = P(x) * dv là Phần còn sót lại của biểu thức dưới dấu vết phân | * u = ln(ax + b) * dv = P(x)dx | * u = P(x) * dv là Phần sót lại của biểu thức dưới dấu vết phân |
Ví dụ 5: Tính những tích phân sau :
Hướng dẫn:
a) Đặt
Do đó
b) Đặt
III. Chỉ dẫn trả lời câu hỏi bài tập tích thân lớp 12 bài bác 2 sgk
Trả lời thắc mắc Toán 12 Giải tích bài 2 trang 101:
Kí hiệu T là hình thang vuông số lượng giới hạn bởi mặt đường thẳng y = 2x + 1, trục hoành và hai đường thẳng x = 1, x = t (1 ≥ t ≥ 5) (H.45).
1. Tính diện tích s S của hình T lúc t = 5 (H.46).
Xem thêm: Mục Tiêu Của Đồng Minh Hội Là Gì, Mục Tiêu Của Trung Quốc Đồng Minh Hội Là
2. Tính diện tích S(t) của hình T lúc x ∈ <1; 5>.
Lời giải:
1. Kí hiệu A là điểm có tọa độ (1,0), D là vấn đề có tọa độ (5,0). B, C thứu tự là giao điểm của mặt đường thẳng x = 1 cùng x = 5 với con đường thẳng y = 2x + 1.
- khi ấy B cùng C sẽ có được tọa độ thứu tự là (1,3) và (5,11).
- Ta có: AB = 3, CD = 11, AD = 4. Diện tích s hình thang
2. Kí hiệu A là điểm có tọa độ (1,0), D là điểm có tọa độ (5,0). B, C thứu tự là giao điểm của mặt đường thẳng x = 1 và x = 5 với mặt đường thẳng y = 2x + 1.
- lúc ấy ta có B (1,3) cùng C(t, 2t + 1).
- Ta bao gồm AB = 3, AD = t – 1, CD = 2t + 1.
- khi đó diện tích s hình thang
Lời giải:
- vị F(x) với G(x) hồ hết là nguyên hàm của f(x) yêu cầu tồn trên một hằng số C sao cho: F(x) = G(x) + C
- khi đó F(b) – F(a) = G(b) + C – G(a) – C = G(b) – G(a).
Trả lời câu hỏi Toán 12 Giải tích bài xích 2 trang 106:
Hãy chứng minh các tính chất 1 và 2.
Lời giải:
Trả lời câu hỏi Toán 12 Giải tích bài xích 2 trang 110:
a) Hãy tính ∫ (x + 1)exdx bằng phương pháp tính nguyên hàm từng phần.
b) Từ đó tính
Lời giải:
IV. Giải đáp giải bài bác tập tích phân lớp 12 bài 2 sgk
Bài 1 trang 112 SGK Giải tích 12:
Tính các tích phân sau:
Lời giải:
Kiến thức áp dụng
+ Tích phân từ a đến b của hàm số f(x) tất cả nguyên hàm là F(x) là:
+ một số nguyên hàm sử dụng:
Bài 2 trang 112 SGK Giải tích 12:
Tính những tích phân sau:
Kiến thức áp dụng
+ Tích phân tự a mang lại b của hàm số f(x) có nguyên hàm là F(x) là:
+ một vài nguyên hàm sử dụng:
Bài 3 trang 113 SGK Giải tích 12:
Sử dụng cách thức đổi biến, hãy tính:
+ cách thức đổi thay đổi số tính tích phân
Nếu hàm f(x) thường xuyên trên đoạn
Cách 1:
Đặt x = φ(t) ⇒ dx = φ"(t).dt
Giả sử φ(α) = a; φ(β) = b.
Đặt u = u(x) ⇒ du = u"(x)dx
Giả sử f(x) viết được bên dưới dạng : f(x) = g(u(x)).u’(x)
Bài 4 trang 113 SGK Giải tích 12:
Sử dụng phương thức tích phân từng phần, hãy tính:
Theo phương pháp tích phân từng phần ta có:
Theo bí quyết tích phân từng phần:
Theo công thức tích phân từng phần:
+ cách thức tích phân từng phần:
Giả sử f(x) = g(x).h(x).
Xem thêm: Top 10 Bài Văn Phân Tích Bài Thơ Sang Thu Hay Nhất, Phân Tích Bài Thơ Sang Thu Hay Nhất (9 Mẫu)
Bài 5 trang 113 SGK Giải tích 12:
Tính những tích phân sau:
