Toán Hình 11 Bài Hai Mặt Phẳng Vuông Góc

     

Nội dung bài xích học sẽ giúp đỡ các em ráng được khái niệm, cách xác định góc thân hai phương diện phẳng, mối tương tác của diện tích đa giác cùng hình chiếu của nó, các điều khiếu nại để nhị mặt phẳng vuông góc nhau. Dường như là những ví dụ minh họa để giúp đỡ các em hình thành các năng lực giải bài tập liên quan đến khẳng định góc giữa hai khía cạnh phẳng, chứng minh hai phương diện phẳng vuông góc,...

Bạn đang xem: Toán hình 11 bài hai mặt phẳng vuông góc


1. Tóm tắt lý thuyết

1.1. Góc thân hai mặt phẳng

1.2. Nhị mặt phẳng vuông góc

1.3. Hình lăng trụ đứng, hình hộp chữ nhật, hình lập phương

1.4. Hình chóp các và hình chóp cụt đều

2. Bài tập minh hoạ

3.Luyện tập bài bác 4 chương 3 hình học tập 11

3.1 Trắc nghiệm vềHai khía cạnh phẳng vuông góc

3.2 bài xích tập SGK và nâng cấp vềHai khía cạnh phẳng vuông góc

4.Hỏi đáp vềbài 4 chương 3 hình học tập 11


a) Định nghĩa

Góc thân hai mặt phẳng là góc giữa hai tuyến đường thẳng theo thứ tự vuông góc với nhị mặt phẳng đó.

Nhận xét:Nếu nhị mặt phẳng tuy nhiên song hoặc trùng nhauthì ta bảo rằng góc thân hai phương diện phẳng đó bằng 0o.

b) Cách xác minh góc thân hai phương diện phẳng cắt nhau:

Cho hai mặt phẳng (P) cùng (Q): ((P) cap left( Q ight) = c)

Lấy I bất kể thuộc c.

Trong (P) qua I kẻ (a ot c).

Trong (Q) qua I kẻ (b ot c).

Khi kia góc thân hai khía cạnh phẳng (P), (Q) là góc giữa hai tuyến phố thẳng a với b.

*

c) diện tích s hình chiếu của một nhiều giác

Với S là diện tích đa giác phía trong (P), S’ là diện tích hình chiếu vuông góc của nhiều giác đó trên (Q),(varphi)là góc thân (P) cùng (Q) ta có:(S"=S.cos varphi).


1.2. Hai mặt phẳng vuông góc


a) Định nghĩa

Hai phương diện phẳng được hotline là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bởi 90o.

b) các định lýĐịnh lý 1:Nếu một phương diện phẳng cất một con đường thẳng vuông góc cùng với một khía cạnh phẳng khác thì nhị mặt phẳng đó vuông góc cùng với nhau.

*

(left{ eginarrayl a ot mp(P)\ a subset mp(Q) endarray ight. Rightarrow mp(Q) ot mp(P))

Hệ quả 1: nếu như hai phương diện phẳng (P) và (Q) vuông góc cùng nhau thì bất cứ đường trực tiếp a nào bên trong (P), vuông góc với giao tuyến của (P) cùng (Q) những vuông góc với khía cạnh phẳng (Q).

*

(left{ eginarrayl (P) ot (Q)\ (P) cap (Q) = d\ a subset (P),a ot d endarray ight. Rightarrow a ot (Q))

Hệ quả 2: giả dụ hai khía cạnh phẳng (P) với (Q) vuông góc cùng với nhau và A là một trong điểm vào (P) thì con đường thẳng a đi qua điểm A cùng vuông góc cùng với (Q) sẽ bên trong (P).

*

(left{ eginarrayl (P) ot (Q)\ A in (P)\ A in a\ a ot (Q) endarray ight. Rightarrow a subset (P))

Hệ trái 3:Nếu nhì mặt phẳng giảm nhau và thuộc vuông góc với mặt phẳng thứ ba thì giao con đường của bọn chúng vuông góc với mặt phẳng trang bị ba.

*

(left{ eginarrayl (P) cap (Q) = a\ (P) ot (R)\ (Q) ot (R) endarray ight. Rightarrow a ot (R))


1.3. Hình lăng trụ đứng, hình vỏ hộp chữ nhật, hình lập phương


a) Hình lăng trụ đứng

Định nghĩa: Hình lăng trụ đứng là hình lăng trụ có bên cạnh vuông góc cùng với đáy.

Nhận xét: những mặt bên của hình lăng trụ đứng là hình chữ nhật và vuông góc với phương diện đáy.

*
*

b) Hình lăng trụ đều

Định nghĩa: Hình lăng trụ đầy đủ là hình lăng trụ đứng bao gồm đáy là nhiều giác đều.

Nhận xét: những mặt bên của hình lăng trụ gần như là đông đảo hình chữ nhật cân nhau và vuông góc với khía cạnh đáy.

*

c) Hình hộp đứng

Định nghĩa: Hình vỏ hộp đứng là hình lăng trụ đứng tất cả đáy là hình bình hành.

Nhận xét: Trong hình hộp đứng tư mặt mặt đều là hình chữ nhật.

*

d) Hình hộp chữ nhật

Định nghĩa: Hình vỏ hộp chữ nhật là hình vỏ hộp đứng tất cả đáy là hình chữ nhật.

Xem thêm: Các Lệnh Định Dạng Được Phân Loại Như Thế Nào ? Thế Nào Là Định Dạng Văn Bản

Nhận xét: Tất cả 6 khía cạnh của hình hộp chữ nhật mọi là hình chữ nhật.

e) Hình lập phương

Định nghĩa: Hình lập phương là hình vỏ hộp chữ nhật có tất cả các cạnh bởi nhau.

*


1.4. Hình chóp phần nhiều và hình chóp cụt đều


a) Hình chóp đều

Định nghĩa: Một hình chóp được điện thoại tư vấn là hình chóp hầu hết nếu đáy của chính nó là nhiều giác hầu như và các bên cạnh bằng nhau.

*

Nhận xét:

+ Đường vuông góc với dưới mặt đáy kẻ từ bỏ đỉnh điện thoại tư vấn là mặt đường cao của hình chóp.

+ Một hình chóp là hình chóp đa số đáy của nó là nhiều giác đầy đủ và chân mặt đường cao của hình chóp trùng với vai trung phong của đáy.

+ Một hình chóp là hình chóp phần đa đáy của nó là đa giác số đông và các ở kề bên tạo voéi mặt dưới các góc bằng nhau.

b) Hình chóp cụt

Định nghĩa: Khi giảm hình chóp các bởi một mặt phẳng song song với lòng để được một hình chóp cụt thì hình chóp cụt này được gọi là hình chóp cụt đều.

*

Nhận xét:

Hai lòng của hình chóp cụt mọi là 2 nhiều giác phần lớn đồng dạng với nhau.Đoạn nối tâm 2 lòng được hotline là đường cao của hình chóp cụt đều.Trong hình chóp cụt đều các mặt bên là những hình thang cân đối nhau.

Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ gồm cạnh bằng a. Tính số đo của góc giữa (BA’C) cùng (DA’C).

Hướng dẫn giải:

*

Kẻ(BH ot A"C, m (H in mA"C))(1).

Mặt khác:(BD ot AC m (gt))

(AA" ot (ABCD) Rightarrow AA" ot BD m )

(Rightarrow BD ot (ACA") Rightarrow BD ot A"C)(2)

Từ (1) (2) suy ra:

(A"C ot (BDH) Rightarrow A"C ot DH)

Do đó:((widehat (BA"C),(DA"C)) = (widehat HB,HD))

Xét tam giác BCA" ta có:

(frac1BH^2 = frac1BC^2 + frac1BA"^2 = frac32a^2 Rightarrow bh = a.sqrt frac23 Rightarrow DH = a.sqrt frac23)

Ta có:

(cos widehat BHD = frac2BH^2 - BD^22BH^2 = - frac12 Rightarrow widehat BHD = 120^0>90^0)

Vậy: (widehat ((BA"C),(DA"C)) =180^0-120^0= 60^0.)

Ví dụ 2:

Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’, lòng ABC là tam giác cân nặng AB=AC=a, (widehat BAC = 120^0), BB’=a, I là trung điểm của CC’. Tính cosin của góc giữa hai mp(ABC) với (AB’I).

Hướng dẫn giải:

*

Ta thấy tam giác ABC là hình chiếu vuông góc của tam giác AB’I lên mặt phẳng (ABC).

Gọi φ là góc giữa hai mặt phẳng (ABC) với (AB’I).

Theo cách làm hình chiếu ta có: (cos varphi = fracS_ABCS_AB"I).

Ta có:

(S_ABC = frac12.AB.AC.sin 120^0 = fraca^2sqrt 3 4)

(AI = sqrt AC^2 + CI^2 = fracasqrt 5 2)

(AB" = sqrt AB^2 + BB"^2 = asqrt 2)

(IB" = sqrt B"C"^2 + IC"^2 = fracasqrt 13 2.)

Suy ra: Tam giác AB’I vuông tại A nên(S_AB"I = frac12.AB".AI = fraca^2sqrt 10 4).

Vậy:(cos varphi = fracS_ABCS_AB"I = sqrt frac310 .)

Ví dụ 3:

Cho hình chóp S.ABCD lòng ABCD là hình thoi, SA=SC. Chứng tỏ rằng: ((SBD) ot (ABCD).)

Hướng dẫn giải:

*

Ta có: (AC ot BD)(1) (giả thiết).

Mặt khác, (SO ot AC)(2) (SAC là tam giác cân tại A cùng O là trung điểm của AC yêu cầu SO là con đường cao của tam giác).

Từ (1) và (2) suy ra: (AC ot (SBD))mà (AC subset (ABCD))nên((SBD) ot (ABCD).)

Ví dụ 4:

Cho hình chóp S.ABCD bao gồm đáy ABCD là hình chữ nhật, AB=a, (AD = asqrt 2), (SA ot (ABCD)). Hotline M là trung điểm của AD, I là giao điểm của AC và BM. Minh chứng rằng:((SAC) ot (SMB).)

Lời giải:

*

Ta có: (SA ot (ABCD) Rightarrow SA ot BM m (1)).

Xét tam giác vuông ABM có: ( an widehat AMB = fracABAM = sqrt 2).

Xét tam giác vuông ACD có: ( an widehat CAD = fracCDAD = frac1sqrt 2 ).

Xem thêm: Quá Trình Phong Hóa Lí Học Chủ Yếu Do ? Phong Hóa Lí Học Xảy Ra Chủ Yếu Do

Ta có:

(eginarrayl cot widehat AIM = cot (180^0 - (widehat AMB + widehat CAD))\ = cot (widehat AMB + widehat CAD) = 0 Rightarrow widehat AIM = 90^0 endarray)

Hay (BM ot AC m (2)).

+ tự (1) cùng (2) suy ra: (BM ot (SAC))mà (BM subset (SAC))nên ((SAC) ot (SMB).)